Capa: ‘Cheese Rolling on Cooper’s Hill’ por Charles March Gere em 1948, da Coleção do Museu de Gloucester. O registro mais antigo conhecido da corrida de queijo remonta a uma comunicação dirigida ao pregoeiro da cidade de Gloucester em 1826. Mesmo naquela época, era evidente que o evento tinha origens históricas significativas, com a crença de que sua origem remonta pelo menos a seis séculos atrás. Fonte: www.visitgloucester.co.uk

Para baixo todo santo ajuda.

Se houver um queijo rolando morro abaixo, haverá um Mineiro correndo atrás dele.

Provérbios Populares Brasileiros

1. Introdução

Stochastic Gradient Descent (SGD) (Descida Estocástica do Gradiente), em conjunto com o Backpropagation, atua como uma pedra angular fundamental no mundo dos algoritmos de otimização (ou seja, no treinamento de redes neurais) para aprendizado de máquina e aprendizado profundo. O principal objetivo deste artigo é fornecer uma explicação abrangente dos princípios fundamentais que sustentam o SGD, com um foco específico na Gradient Descent (GD) (Descida do Gradiente). O objetivo é iluminar os conceitos fundamentais, as vantagens inerentes e a notável eficácia da GD na superação de desafios significativos no treinamento de redes neurais com muitos camadas (e parâmetros). Notavelmente, enquanto as analogias conceituais com a física são facilmente aparentes, incluindo comparações como uma bola rolando morro abaixo e os princípios de ação mínima e integrais de Feynman, é igualmente importante reconhecer que as bases matemáticas da descida de gradiente ressoam no âmbito das técnicas de ciência de dados. Essa congruência matemática se estende a várias metodologias de ciência de dados, como interpolação polinomial, ajuste de curva por mínimos quadrados, visualização de dados e muito mais. Consequentemente, a sinergia entre os fundamentos matemáticos da descida de gradiente e suas aplicações na ciência de dados destaca a versatilidade e a ampla aplicabilidade dessas técnicas de otimização em diversos campos.

2. O que é Gradient Descent?

Para explorar os princípios fundamentais que formam a base do Descida de Gradiente Estocástico (SGD), é benéfico começar introduzindo o Gradiente Descendente (GD). Ao estabelecer comparações com uma analogia física simples envolvendo a descida de uma bola por uma colina e o conceito de percorrer uma curva em direção ao mínimo de uma função, podemos estabelecer uma base conceitual acessível. Essas analogias oferecem um ponto de partida acessível para compreender os mecanismos do Gradiente Descendente (GD), que serve como a base para o SGD.

2.1. Uma Bola (ou Queijo) Rolando Morro Abaixo

Imagine que você está observando uma bola redonda no topo de uma paisagem cheia de colinas e vales, muito parecida com o famoso queijo Gloucester que rola pela Coopers Hill.

Você sabe como as coisas são puxadas para baixo devido à gravidade. Bem, neste caso, a gravidade dá à bola (ou ao queijo) um pequeno empurrão, fazendo-a rolar pela encosta mais íngreme. Agora, pense nisso como se estivéssemos tentando encontrar o melhor caminho morro abaixo, como resolver um quebra-cabeça.

Agora, imagine a bola começando a rolar de um ponto alto. Ela segue o relevo do terreno à medida que desce. Isso é semelhante à forma como os programas de computador trabalham para resolver problemas. Eles dão pequenos passos para melhorar, assim como a bola ajusta sua posição enquanto rola.

Assim como a bola é guiada pela gravidade e pela forma da terra, essas técnicas de computador usam algo chamado “gradientes” para orientá-las. Pense nos gradientes como marcadores que mostram a melhor maneira de descer o morro em um problema de computador. Essa comparação nos ajuda a entender que tanto a resolução de problemas quanto a jornada da bola estão tentando encontrar a melhor maneira de chegar a uma solução.

Vamos aprofundar um pouco mais nisso. Imagine ensinar um programa de computador a reconhecer coisas em imagens. Usar essas técnicas realmente pode ajudar o programa a melhorar. Pense nas configurações do programa como uma paisagem cheia de colinas e a “cost function” como um mapa que nos diz o quanto os palpites do programa diferem da realidade. Quando usamos essas técnicas, o programa ajusta gradualmente suas configurações, assim como a bola aprimora seu caminho enquanto desce, visando minimizar a “cost function”. Isso ajuda o programa a funcionar melhor e fazer palpites mais precisos.

Aqui está uma parte interessante: quando a bola começa no topo do morro, ela tem energia. Conforme desce, essa energia se transforma em velocidade, parte dela é perdida devido ao atrito. Isso é semelhante à forma como essas técnicas funcionam – elas passam de problemas maiores (um “cost function” maior) para problemas menores (um “cost function” menor), assim como a bola vai de um ponto mais alto para um mais baixo. Isso mostra como as ideias da física e da resolução de problemas podem se conectar de uma maneira realmente interessante.

Agora imagine que você está em uma missão para encontrar o ponto mais baixo em uma paisagem cheia de colinas e vales. Mesmo que você não possa ver diretamente toda a paisagem, pode sentir qual direção é mais íngreme enquanto caminha. Agora, pense em como os computadores aprendem a melhorar as coisas. Eles também querem encontrar o melhor “ponto mais baixo” em uma paisagem virtual (o “cost function” mais baixo) e usam uma ideia semelhante, o “Gradient Descent” (Descida de Gradiente).

Neste cenário digital, em vez de colinas e vales reais, temos funções matemáticas que descrevem diferentes formas (uma curva para uma função de uma variável simples, uma superfície para uma função de duas variáveis ou uma hipersuperfície com dimensões mais altas). Assim como você percebe a inclinação enquanto caminha, essas funções têm uma propriedade chamada “inclinacão” ou “gradiente” que indica a direção em que estão subindo ou descendo. A descida de gradiente é semelhante a um caminhante inteligente que começa em um ponto aleatório na paisagem e dá pequenos passos na direção que faz a inclinação diminuir mais rapidamente.

No entanto, há uma reviravolta: em vez de usar botas de caminhada, empregamos um truque matemático inteligente para determinar a direção mais íngreme. Seguimos a inclinação para baixo e ajustamos nossa posição para nos aproximarmos cada vez mais do ponto mais baixo. Esse conceito é usado na aprendizagem de máquina, onde os computadores “caminham” por essas colinas matemáticas para aprimorar tarefas como a previsão de imagens ou a compreensão de texto. É como adotar o modo como a natureza nos guia em colinas reais, mas traduzido em números e computadores.

2.2. O Truque Matemático de Seguir a Direção Mais Íngreme

Vamos mergulhar em uma descrição mais técnica e informativa da relação entre o processo matemático de caminhar numericamente em direção ao mínimo de uma função e o método comumente usado de descida de gradiente na aprendizagem de máquina.

Considere a função simples y = x². Queremos nos mover ao longo da curva em direção ao mínimo usando a descida de gradiente. Primeiro, calculamos o gradiente (primeira derivada para esta função de uma variável): y’ = dy/dx = 2x. Como o gradiente indica a direção do aumento mais acentuado da função, ele é positivo para x > 0 e negativo para x < 0. Claramente, há um ponto crítico em x = 0, onde a segunda derivada positiva sugere um mínimo.

Por enquanto, vamos temporariamente deixar de lado as lições envolvendo cálculo diferencial e integral e, em vez disso, concentrar-nos em um exemplo numérico. Esta abordagem tende a ser mais instrutiva e acessível a uma ampla gama de leitores.

Vamos ilustrar como um ponto arbitrário na curva pode ser levado ao mínimo da função usando a técnica de descida de gradiente (a função y pode representar a função de custo a ser minimizada na aprendizagem de máquina).

No contexto da descida de gradiente, é importante lembrar que utilizamos o gradiente negativo, que corresponde à direção de descida mais acentuada da função. Portanto, considerando a curva ou função dada, o cálculo -y’ = -2x se torna necessário.

Vamos começar com x₁ = 4 (o que resulta em y₁ = 16). Para avançar, aumentaremos x₁ por uma quantidade igual ao negativo do gradiente neste ponto específico, representado como -y'(x₁), multiplicado pela “LR” – a taxa de aprendizado (Learning Rate). Este procedimento de atualização do novo valor de x será iterado “N” vezes: X₂ = X₁-y'(x₁)*LR … X_N = X_N-1-y'(x_N-1)*LR.

A execução dessa sequência por um total de N iterações faz com que o ponto convirja em direção à origem, representando a descida mais íngreme e progredindo contrariamente ao aumento do gradiente. Tanto a LR quanto o N funcionam como hiperparâmetros nesse contexto. Esse procedimento pode ser executado manualmente ou facilitado por meio de uma planilha do Excel.

Como abordagem alternativa, você também tem a opção de solicitar ao ChatGPT que produza um código Python em seu nome. O código gerado pode ser facilmente copiado e colado no JupyterLite para execução. A saída apresentada abaixo demonstra a progressão interativa em direção ao ponto mínimo, análogo a uma bola (ou queijo) descendo suavemente uma colina em direção ao fundo do vale

Um caminho iterativo de uma ‘bola’ movendo-se ao longo de uma curva quadrática (y = x²) é representado usando a técnica de Descida de Gradiente. A trajetória é marcada por pontos vermelhos, e setas azuis posicionadas ao longo do eixo x indicam a direção e magnitude do gradiente negativo. Conectando os pontos às setas estão linhas tracejadas cinzas, enfatizando a noção de buscar a descida mais íngreme. A cada iteração, a ‘bola’ se aproxima progressivamente do mínimo da curva, demonstrando eficazmente o princípio fundamental da Descida de Gradiente (Código 1 no Apêndice).

Ao introduzir alterações a este código, torna-se viável expandir suas capacidades e gerar um gráfico tridimensional abrangente.

Esta visualização mostra a essência da otimização por descida de gradiente. À esquerda, um gráfico 3D exibe uma ‘colina’ parabólica que representa uma função matemática, com marcadores vermelhos representando o movimento iterativo de uma bola simbolizando o progresso da otimização. Linhas de contorno cinzas ajudam a visualizar as curvas da função no chão. À direita, um gráfico de contorno de mapa de cores oferece uma visão 2D da mesma função, com o caminho de uma bola vermelha ilustrando os passos da descida de gradiente. As setas indicam a direção da descida mais íngreme (gradiente negativo), enquanto a intensidade da cor corresponde aos valores da função. Essa representação visual destaca como o método de descida de gradiente navega pela paisagem da função para encontrar seu ponto mais baixo, auxiliando na compreensão das técnicas de otimização em aprendizado de máquina e matemática (Código 2 no Apêndice).

É importante ressaltar que, no âmbito do aprendizado de máquina, a descida de gradiente surge como uma técnica de otimização fundamental utilizada para minimizar a função de custo, que quantifica a disparidade entre as previsões do modelo e as observações reais. Esse processo de minimização ocorre nos domínios dos pesos e vieses, parâmetros críticos que moldam o comportamento do modelo de rede neural. A taxa de aprendizado, um hiperparâmetro significativo que determina o tamanho do passo em cada iteração da descida de gradiente, desempenha um papel essencial. Essa taxa determina quão rapidamente o modelo se aproxima da solução ideal.

3. Regressão Linear e Interpolação Polinomial: em algumas palavras

No âmbito da análise de dados, duas técnicas fundamentais – regressão linear e interpolação polinomial – ocupam um lugar central. Vale a pena dedicar algumas palavras para distinguir esses conceitos, especialmente para iniciantes que podem achá-los inicialmente confusos.

A regressão linear (e sua contraparte não linear) tem como principal objetivo encontrar uma linha, curva ou até mesmo uma superfície de ajuste ótimo que minimize a diferença entre os valores previstos e os valores reais. Esta abordagem encontra relevância em várias situações, incluindo aquelas em que as entradas e saídas são rotuladas dentro de uma rede neural treinada supervisionadamente. É semelhante a descobrir a maneira mais adequada de conectar os pontos, revelando tendências e relações inerentes aos dados.

Paralelamente à regressão linear, a interpolação polinomial emerge como uma estratégia versátil que lida com as complexidades da representação de dados. Através de técnicas baseadas em matrizes como a eliminação de Gauss-Jordan, a interpolação polinomial entra em cena para preencher lacunas dentro de pontos de dados incompletos, utilizando equações polinomiais. Esse processo de preenchimento é crucial para preparar os dados para consumo, como por exemplo, por uma rede neural. Enquanto a regressão linear se concentra em ajustes lineares ótimos, a interpolação polinomial dá um passo adiante. Ela acomoda curvas polinomiais de graus variados, passando pelos pontos de dados de maneira mais sutil. A técnica de Gauss-Jordan para escalonamento e redução de matrizes por operações elementares de linha, fundamental para esse processo, nos capacita a decifrar com precisão os coeficientes polinomiais, proporcionando uma compreensão aguçada das tendências e associações entrelaçadas nos dados.

A sinergia entre a regressão linear e a interpolação polinomial equipa os analistas com ferramentas poderosas para desvendar padrões e projetar tendências em uma variedade de conjuntos de dados diversos.

Na nossa próxima discussão, vamos nos concentrar na comparação do método de descida de gradiente da regressão linear com o ajuste linear de mínimos quadrados. Embora ambas as técnicas tenham papéis distintos, deixaremos a exploração da interpolação polinomial de lado por enquanto. Para uma análise mais aprofundada da interpolação polinomial, você pode consultar o Apêndice.

4. Regressão Linear: Mínimos Quadrados versus Descida de Gradiente

Tanto a regressão linear de mínimos quadrados quanto a descida de gradiente são componentes cruciais no campo de aprendizado de máquina e estatísticas, compartilhando um objetivo central: determinar parâmetros ótimos para um modelo linear que se ajusta aos dados fornecidos com precisão. Vamos explorar uma comparação abrangente entre essas duas técnicas.

No caso do ajuste de mínimos quadrados (como discutido em nosso artigo ‘Ajuste de Curvas: Uma Introdução Visando Aprendizado de Máquina‘), o principal objetivo é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os pontos de dados observados e os valores previstos projetados na linha de regressão. Esse processo envolve, para um ajuste linear, determinar os parâmetros (slope e intercept) que resultam na menor soma dos erros quadrados.

Por outro lado, a descida de gradiente opera como um algoritmo de otimização que busca localizar o mínimo de uma função de custo por meio de ajustes iterativos de parâmetros. No contexto da regressão linear, essa função de custo frequentemente se alinha com o erro quadrático médio (MSE), que é paralelo ao objetivo central da regressão linear de mínimos quadrados.

Quando se trata de inicialização e iteração, a regressão linear de mínimos quadrados emprega uma fórmula direta para calcular eficientemente os parâmetros ótimos (inclinação e interceptação) que minimizam a soma dos erros quadrados. Essa abordagem se beneficia da computação simplificada por meio de operações de matriz. Para ajustes de mínimos quadrados não lineares, geralmente um sistema de equações normalmente em forma matricial deve ser resolvido iterativamente.

Por outro lado, a descida de gradiente para a regressão linear começa com valores iniciais de parâmetros e os aprimora progressivamente em uma direção que reduz a função de custo. A magnitude das atualizações é proporcional ao gradiente negativo da função de custo, orientando o algoritmo em direção aos valores ótimos dos parâmetros.

Essa comparação fica ainda mais clara quando olhamos para a descida de gradiente como uma abordagem iterativa. A fórmula direta da regressão linear de mínimos quadrados pode ser vista como um processo de otimização em um único passo que calcula diretamente os parâmetros ótimos, fornecendo uma solução de forma fechada com precisão.

Por outro lado, a descida de gradiente se desdobra como uma metodologia iterativa. A cada iteração, ela atualiza os parâmetros por meio de pequenos passos na direção da descida mais íngreme. Esses ajustes incrementais continuam diminuindo a função de custo, levando eventualmente à convergência e aos valores ótimos dos parâmetros.

O mapa de cores ilustra a paisagem da função de custo durante o processo de Descida de Gradiente para a regressão linear. A trajetória em preto representa o caminho das atualizações dos parâmetros (A e B) à medida que o algoritmo minimiza iterativamente a função de custo. A intensidade do mapa de cores indica os valores de custo em diferentes combinações de parâmetros, mostrando a descida gradual em direção aos valores ótimos dos parâmetros que melhor se ajustam aos pontos de dados fornecidos (Código 5 no Apêndice).

A descida de gradiente introduz o conceito de taxa de aprendizado – um hiperparâmetro que dita o tamanho do passo dado em cada iteração. A taxa de aprendizado impacta significativamente a velocidade de convergência e a estabilidade geral do algoritmo.

Em termos de taxas de aprendizado, a regressão linear de mínimos quadrados não envolve esse conceito. Os parâmetros ótimos são calculados diretamente a partir dos pontos de dados fornecidos.

Para ilustrar, considere ter um conjunto de dados que exibe um padrão linear. Tanto a regressão linear de mínimos quadrados quanto a descida de gradiente podem ser usadas para determinar a melhor linha de ajuste.

No método de mínimos quadrados, os cálculos fornecem diretamente a inclinação e a interceptação que minimizam a soma dos erros quadrados.

Por outro lado, o método de descida de gradiente começa com estimativas de parâmetros e os refina iterativamente. Em cada iteração, é calculado o gradiente da função de custo em relação aos parâmetros, orientando as atualizações dos parâmetros.

Embora ambas as técnicas visem à linha de ajuste ideal, suas estratégias de otimização são diferentes. Os mínimos quadrados oferecem uma solução de um único passo precisa, enquanto a descida de gradiente aprimora gradualmente os parâmetros ao longo de várias iterações.

Em essência, o objetivo principal tanto da regressão linear de mínimos quadrados quanto do método de descida de gradiente é identificar parâmetros ótimos para modelos lineares. Enquanto os mínimos quadrados oferecem uma solução definitiva, a descida de gradiente fornece um caminho de otimização iterativo versátil que se estende além da regressão linear.

Ao escolher entre a Regressão Linear de Mínimos Quadrados e a Descida de Gradiente para otimização de modelos, é crucial ponderar suas vantagens e desvantagens, especialmente no contexto do tamanho do conjunto de dados e dos recursos computacionais. A Regressão Linear de Mínimos Quadrados brilha ao lidar com conjuntos de dados menores, pois pode calcular eficientemente e com precisão os parâmetros ótimos. Além disso, possui um custo computacional mais baixo, tornando-a uma escolha adequada para conjuntos de dados de pequeno a médio porte. Por outro lado, a Descida de Gradiente é uma concorrente valiosa, especialmente ao lidar com conjuntos de dados substanciais. Embora possa funcionar razoavelmente bem com conjuntos de dados pequenos, seu verdadeiro potencial se torna evidente ao lidar com grandes conjuntos de dados, onde a solução de forma fechada se torna computacionalmente cara e intensiva em memória. No entanto, vale ressaltar que a Descida de Gradiente vem com um custo computacional mais alto devido à sua natureza iterativa. Ainda assim, sua escalabilidade a torna uma escolha robusta para otimizar modelos em uma escala maior. Portanto, a decisão entre esses métodos depende, em última análise, do tamanho do conjunto de dados e dos recursos computacionais disponíveis.

Em conclusão, embora tanto a regressão linear de mínimos quadrados quanto a descida de gradiente persigam o mesmo objetivo de encontrar parâmetros ótimos, suas vantagens e desvantagens se tornam aparentes em contextos diferentes. Os mínimos quadrados são eficientes para conjuntos de dados pequenos e oferecem uma solução de forma fechada, enquanto a descida de gradiente se destaca em conjuntos de dados maiores, fazendo um trade-off entre o custo computacional e a escalabilidade. A escolha entre esses métodos depende do tamanho do conjunto de dados e dos recursos computacionais disponíveis. Para uma discussão mais detalhada e acesso a exemplos de código em Python, consulte a seção de Apêndice.

5. Descida do Gradiente Estocástico: Lidando com Desafios em Grande Escala

A emergência da Descida do Gradiente Estocástico (SGD, na sigla em inglês), originária do grego antigo στόχος (stókhos) que significa ‘chute, suposição’, oferece uma solução para as limitações computacionais da Descida do Gradiente tradicional em cenários de grande escala. A SGD introduz um elemento de aleatoriedade no cálculo do gradiente. Em vez de calcular o gradiente usando o conjunto de dados completo, a SGD trabalha com subconjuntos menores, selecionados aleatoriamente, chamados de “mini-lotes” (mini-batches), durante cada iteração de otimização. Essa modificação reduz a intensidade computacional, tornando a SGD viável para tarefas de otimização em grande escala.

A natureza estocástica da SGD permite que ela aproxime o verdadeiro gradiente por meio da amostragem dos mini-lotes. Essa aleatoriedade controlada nas atualizações de parâmetros permite a navegação dinâmica no enorme espaço de parâmetros, levando a uma convergência mais rápida e uma melhor generalização. Essas características posicionam a SGD como uma técnica de otimização fundamental no cenário em constante evolução da aprendizagem de máquina.

Um código modificado introduz o conceito de Descida do Gradiente Estocástico (SGD) e oferece uma análise mais detalhada da proximidade do mínimo da função de custo. É importante observar o padrão de movimentação distinto dos pontos de parâmetro, característico da abordagem estocástica. Ao reduzir o número de iterações e iterar sobre mini-lotes de dados aleatórios, a Descida do Gradiente Estocástico tem como objetivo acelerar a convergência (modificado a partir do Código 5 no Apêndice).

Uma das vantagens da Descida do Gradiente Estocástico em relação à Descida do Gradiente padrão reside em sua eficiência e adequação para tarefas de aprendizado de máquina. Na Descida do Gradiente padrão, todo o conjunto de dados é utilizado para calcular o gradiente e atualizar os parâmetros do modelo (pesos e viéses da rede neural profunda) em cada iteração. No entanto, em cenários de aprendizado de máquina em grande escala, isso pode ser computacionalmente caro e demorado. A Descida do Gradiente Estocástico aborda esse desafio atualizando os parâmetros usando apenas um subconjunto ou um único ponto de dados em cada iteração, tornando o processo mais rápido e frequentemente resultando em convergência mais rápida. Além disso, a SGD melhora a generalização do modelo ao introduzir ruído durante as atualizações e melhorar a adaptabilidade a dados não vistos. Sua natureza estocástica também ajuda a escapar de mínimos locais e estreitos na paisagem de perda (função de custo), resultando em soluções mais robustas e menos propensas a overfitting. Essas vantagens posicionam a SGD como uma técnica valiosa de otimização, especialmente no contexto do treinamento de redes neurais profundas em conjuntos de dados grandes e complexos.

Sem dúvida, a maior vantagem da Descida do Gradiente Estocástico (SGD) é sua notável capacidade de alcançar convergência mais rápida. Especialmente ao lidar com conjuntos de dados extensos, calcular o gradiente completo pode ser proibitivamente caro em termos computacionais. Essa propriedade é particularmente vantajosa no treinamento de modelos complexos, como redes neurais convolucionais para classificação de imagens, onde o progresso rápido é essencial para previsões precisas. A seguir, vamos explorar algumas considerações adicionais importantes sobre a Descida do Gradiente Estocástico (SGD).

Generalização Melhorada: Combate ao Overfitting

A introdução de ruído controlado pela SGD por meio de atualizações estocásticas melhora a generalização do modelo. O overfitting, onde os modelos memorizam o ruído nos dados de treinamento, é uma preocupação significativa. As atualizações estocásticas da SGD ajudam o modelo a se concentrar em padrões essenciais, evitando o overfitting e melhorando o desempenho em dados novos e não vistos. Essa vantagem é crucial ao treinar modelos complexos, como sistemas de processamento de linguagem natural, garantindo robustez em diversos cenários.

Escapando de Mínimos Acentuados: Navegando na Complexidade

A natureza estocástica da Descida do Gradiente Estocástico a capacita a se afastar de mínimos acentuados e estreitos na paisagem de perda. Essa propriedade única impede a convergência para configurações excessivamente sensíveis, garantindo que as soluções sejam robustas e menos suscetíveis a perturbações. Por exemplo, no treinamento de redes generativas adversárias para geração de imagens, a capacidade da SGD de escapar de mínimos locais e acentuados assegura saídas de imagens diversas e de alta qualidade.

Desafios e Soluções

Stochastic Gradient Descent (SGD) oferece vantagens significativas na otimização, mas não está isento de desafios. Dois obstáculos principais incluem a seleção de uma taxa de aprendizado apropriada, onde encontrar um equilíbrio entre a velocidade de convergência e a estabilidade é crucial. Diversas técnicas, como programações de taxa de aprendizado e algoritmos adaptativos como RMSProp (Root Mean Square Propagation é um método inventado por Geoffrey Hinton em 2012 no qual a taxa de aprendizado é adaptada para cada um dos parâmetros de uma rede neural) e Adam (Adaptive Moment Estimation, 2014, uma modificação do otimizador RMSProp), ajudam a lidar com isso. Além disso, a natureza estocástica do SGD pode introduzir muito ruído no processo de otimização, o que pode prejudicar o progresso. Estratégias como as de momentum, redução de variância e métodos adaptativos desempenham um papel na estabilização da otimização sob essas condições ruidosas. Superar esses desafios garante a robustez e eficácia do SGD na otimização de diversos modelos e conjuntos de dados.

6. Paralelos com Ideias da Física Moderna

As conexões entre estratégias de otimização e conceitos fundamentais da física são fascinantes. Conceitos como as integrais de Feynman e o Princípio da Menor Ação encontram paralelos com os princípios do Gradiente Descendente Estocástico (SGD). Assim como a otimização busca estados ótimos, a física busca estados de menor ação. Essa convergência destaca a unidade entre os processos de exploração e minimização tanto na otimização computacional quanto no universo tangível.

Na física, o Princípio da Menor Ação afirma que o caminho seguido por um sistema entre dois pontos em seu espaço de configuração é aquele para o qual a ação é minimizada. Da mesma forma, na otimização, o SGD busca encontrar o estado ótimo (no espaço de parâmetros) de um sistema ao minimizar iterativamente uma função objetivo. Os paralelos entre esses dois conceitos destacam as profundas conexões entre os campos da física e da otimização.

As Integrais de Feynman, que são usadas para calcular amplitudes de probabilidade na mecânica quântica, também têm conexões com a otimização. Isso é semelhante à maneira como o SGD explora o espaço de soluções possíveis para um problema de otimização, atualizando iterativamente sua estimativa da solução ideal com base no gradiente da função objetivo.

Essas conexões entre estratégias de otimização e conceitos fundamentais da física são intrigantes e destacam a profunda união entre esses dois campos. Ao explorar essas conexões mais a fundo, podemos obter novos insights tanto na otimização computacional quanto em nossa compreensão do universo físico. Essa convergência certamente atrairá físicos e outros interessados em explorar as conexões entre esses dois campos fascinantes.

7. Conclusões

O Stochastic Gradient Descent (SGD) se destaca como um algoritmo de otimização transformador dentro da aprendizagem de máquina, e sua influência ressoa em diversas aplicações. Ele se destaca na otimização eficiente de modelos, lidando tanto com vastos conjuntos de dados de alta dimensionalidade, regressão linear quanto no treinamento de complexas redes neurais profundas. À medida que a aprendizagem de máquina avança, o SGD continua a fornecer uma base confiável para se adaptar às crescentes complexidades e impulsionar o progresso no campo. A versatilidade, eficácia e escalabilidade do SGD o tornam indispensável, sustentando a busca por construir sistemas inteligentes que impactam diversos domínios. Suas contribuições são indiscutíveis, e pesquisas em andamento garantem que o SGD permaneça uma ferramenta robusta e relevante, enriquecendo ainda mais o cenário da otimização de aprendizagem de máquina.

References

https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_gradient_descent

Várias referências chave até 2021 fornecem insights fundamentais sobre os conceitos e limitações do Gradiente Descendente e o surgimento do Gradiente Descendente Estocástico como uma solução para otimização em larga escala na aprendizagem de máquina:

1. L. Bottou, “Large-Scale Machine Learning with Stochastic Gradient Descent,” Proceedings of COMPSTAT’2010, 2010. DOI: 10.1007/978-3-7908-2604-3_1 Este artigo seminal de L. Bottou examina meticulosamente os desafios apresentados pelo dimensionamento do Gradiente Descendente tradicional para acomodar conjuntos de dados grandes. Ele introduz o Gradiente Descendente Estocástico como uma alternativa convincente para a aprendizagem de máquina em larga escala. As percepções deste trabalho tiveram uma influência profunda na orientação dos métodos de otimização escaláveis na comunidade de aprendizado de máquina.
2. Y. LeCun, L. Bottou, G. Orr, and K. Muller, “Efficient BackProp,” Neural Networks: Tricks of the Trade, Springer, 1998. DOI: 10.1007/978-3-642-35289-8_30 O livro “Neural Networks: Tricks of the Trade”, escrito por Y. LeCun e outros, ocupa uma posição fundamental na literatura de aprendizado de máquina. Ele destaca as melhorias na eficiência trazidas pelo Gradiente Descendente Estocástico, enfatizando sua adequação para o treinamento de redes neurais – um pilar do aprendizado de máquina moderno. Esta referência demonstra como o SGD desempenha um papel fundamental ao possibilitar o treinamento de modelos complexos.
3. S. Shalev-Shwartz and S. Ben-David, “Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms,” Cambridge University Press, 2014. ISBN: 978-1107057135 O livro “Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms” fornece conhecimento essencial sobre otimização no contexto da aprendizagem de máquina. Ele introduz o Gradiente Descendente Estocástico como uma técnica crítica para enfrentar os desafios da otimização em larga escala. Esta referência fundamental oferece insights abrangentes sobre os fundamentos teóricos dos algoritmos de aprendizado de máquina, incluindo o papel do SGD.
4. B. Recht, C. Re, S. Wright, and F. Niu, “Hogwild: A Lock-Free Approach to Parallelizing Stochastic Gradient Descent,” Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS), 2011. Este artigo inovador apresenta o algoritmo “Hogwild!”, demonstrando como paralelizar eficientemente o Gradiente Descendente Estocástico de forma livre de bloqueio. Este trabalho foi fundamental para tornar o SGD viável para o processamento paralelo em larga escala, abordando um dos desafios significativos na aplicação do SGD a cenários de big data.
5. L. Xiao and T. Zhang, “A Proximal Stochastic Gradient Descent Algorithm,” Proceedings of the 30th International Conference on Machine Learning (ICML), 2013. Este artigo apresenta uma versão proximal do Gradiente Descendente Estocástico, aprimorando suas propriedades de convergência e tornando-o mais adequado para tarefas de otimização com regularizadores não suaves. Esse desenvolvimento amplia a aplicabilidade do SGD para uma classe mais ampla de problemas de aprendizado de máquina.
6. J. Duchi, E. Hazan, and Y. Singer, “Adaptive Subgradient Methods for Online Learning and Stochastic Optimization,” Journal of Machine Learning Research (JMLR), 2011. Este artigo do JMLR apresenta o algoritmo AdaGrad, um método de taxa de aprendizado adaptativa que aborda o desafio de seleção da taxa de aprendizado no Gradiente Descendente Estocástico (SGD). A capacidade do AdaGrad de ajustar as taxas de aprendizado com base nos gradientes históricos teve um impacto significativo na eficácia do SGD em aplicações práticas.
7. D. Kingma and J. Ba, “Adam: A Method for Stochastic Optimization,” International Conference on Learning Representations (ICLR), 2015. O algoritmo de otimização “Adam”, introduzido neste artigo da ICLR, tornou-se um dos métodos de taxa de aprendizado adaptativa mais amplamente usados para o Gradiente Descendente Estocástico (SGD). Ele combina os benefícios do momentum e das taxas de aprendizado adaptativas, resultando em um algoritmo de otimização robusto e eficiente que desempenhou um papel fundamental no treinamento de redes neurais profundas.
8. L. Jiang, Z. Luo, A. G. Dimakis, and I. Dhillon, “Duality-Gap Based Optimal Stochastic Block Coordinate Descent for Regularized Loss Minimization,” Proceedings of the 36th International Conference on Machine Learning (ICML), 2019. Este artigo da ICML contribui para a compreensão teórica do Gradiente Descendente Estocástico ao introduzir o conceito de otimização baseada na lacuna de dualidade. Essa abordagem inovadora fornece insights sobre estratégias ótimas para o Gradiente Descendente Estocástico com coordenadas de bloco estocásticas, enriquecendo as bases teóricas da otimização baseada em SGD.
9. N. Srebro, “Optimization for Machine Learning,” Foundations and Trends® in Machine Learning, 2010. DOI: 10.1561/2200000006 Este abrangente artigo de revisão oferece uma compreensão profunda das técnicas de otimização no contexto da aprendizagem de máquina, incluindo uma exploração minuciosa do Gradiente Descendente Estocástico. Ele serve como um recurso valioso para compreender os aspectos teóricos e práticos dos métodos de otimização usados na aprendizagem de máquina moderna.
10. M. R. Garey and D. S. Johnson, “Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness,” W. H. Freeman, 1979. ISBN: 0716710455 Embora tenha sido publicada em 1979, esta referência clássica permanece relevante devido ao seu impacto fundamental. Ela introduz o conceito de NP-completitude, enfatizando os desafios computacionais inerentes aos problemas de otimização. Embora não seja específica para o Gradiente Descendente Estocástico, esse trabalho destaca o contexto mais amplo da complexidade da otimização na ciência da computação.

Apêndice

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the quadratic function y(x)
def y(x):
    return x**2

# Define the gradient of the function
def gradient(x):
    return 2 * x

# Initial ball position
x_start = 5.0
x_guess = x_start
learning_rate = 0.1
num_iterations = 20

# Lists to store the trajectory of x and y values
x_trajectory = []
y_trajectory = []

# Perform gradient descent
for i in range(num_iterations):
    # Calculate the gradient at the current x
    grad = gradient(x_guess)
    
    # Update x using the gradient and learning rate
    x_guess -= learning_rate * grad
    
    # Calculate the corresponding y value
    y_val = y(x_guess)
    
    # Store the x and y values in the trajectory lists
    x_trajectory.append(x_guess)
    y_trajectory.append(y_val)

# Plot the function, the gradient descent trajectory, and lines connecting red dots to arrows
x_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
plt.plot(x_vals, y(x_vals), label='y(x) = x^2')
plt.scatter(x_trajectory, y_trajectory, color='red', label='Gradient Descent')
plt.scatter([-x for x in x_trajectory], y_trajectory, color='red')

# Plot positive gradient arrows (inverted direction) and lines
for i in range(len(x_trajectory)):
    arrow_length = -0.5 * learning_rate * gradient(x_trajectory[i])
    plt.arrow(x_trajectory[i], 0, arrow_length, 0, head_width=0.15, head_length=0.2, fc='blue', ec='blue')
    plt.plot([x_trajectory[i], x_trajectory[i]], [y_trajectory[i], 0], '--', color='gray')

# Plot negative gradient arrows and lines
for i in range(len(x_trajectory)):
    arrow_length = -0.5 * learning_rate * gradient(-x_trajectory[i])
    plt.arrow(-x_trajectory[i], 0, arrow_length, 0, head_width=0.15, head_length=0.2, fc='blue', ec='blue')
    plt.plot([-x_trajectory[i], -x_trajectory[i]], [y_trajectory[i], 0], '--', color='gray')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Symmetric Gradient Descent in 2D')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Define the hill function and its gradient
def hill(x, y):
    return x**2 + y**2

# Generate grid for the plot
x_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
y_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x_vals, y_vals)
Z = hill(X, Y)

# Initialize the figure
fig = plt.figure(figsize=(14, 6))

# Create the 3D subplot for the hill plot (left side)
ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
ax1.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', alpha=0.7)
ax1.set_xlabel('X')
ax1.set_ylabel('Y')
ax1.set_zlabel('Cost')
ax1.set_title('3D Plot of Hill Function')

# Plot the level curves on the xy-plane
ax1.contour(X, Y, Z, levels=np.linspace(np.min(Z), np.max(Z), 10), offset=np.min(Z) - 1, cmap='gray', alpha=0.5)

# Initial position of the ball
ball_pos = np.array([4.0, 4.0, hill(4.0, 4.0)])  # Include z-coordinate
learning_rate = 0.1
num_iterations = 20

# Perform gradient descent
for i in range(num_iterations):
    grad = np.array([2 * ball_pos[0], 2 * ball_pos[1]])
    ball_pos[:2] -= learning_rate * grad
    ball_pos[2] = hill(*ball_pos[:2])  # Update the z-coordinate using the hill function
    
    # Plot the ball's current position on the surface
    ax1.scatter(ball_pos[0], ball_pos[1], ball_pos[2], color='red', marker='o', s=50)

# Create the contour subplot (right side)
ax2 = fig.add_subplot(122)
contour = ax2.contourf(X, Y, Z, levels=20, cmap='viridis')
ax2.set_xlim(0, 4)
ax2.set_ylim(0, 4)
ax2.set_xlabel('X')
ax2.set_ylabel('Y')
ax2.set_title('Contour Plot/Colormap of Hill Function')
fig.colorbar(contour)

# Initial position of the ball
ball_pos = np.array([4.0, 4.0])
learning_rate = 0.1
num_iterations = 20

# Perform gradient descent
for i in range(num_iterations):
    grad = np.array([2 * ball_pos[0], 2 * ball_pos[1]])
    ball_pos -= learning_rate * grad
    
    # Plot the ball's current position
    ax2.scatter(ball_pos[0], ball_pos[1], color='red', marker='o', s=50)
    
    # Plot gradient arrows
    ax2.quiver(ball_pos[0], ball_pos[1], -grad[0]/20, -grad[1]/20, color='black', angles='xy', scale_units='xy', scale=1, width=0.004)

# Show the plots
plt.tight_layout()
plt.show()

Código 3: Interpolação Polinomial em Resumo

O código a seguir realiza a eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos dados (-1,15) e (12,7).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Given data points
data_points = [(-1, 15), (12, 7)]

# Extracting x and y values from the data points
x_values = [point[0] for point in data_points]
y_values = [point[1] for point in data_points]

# Create a matrix for the linear system
matrix = np.array([[1, x] for x in x_values])
constants = np.array(y_values)

# Solve the linear system using numpy's linalg.solve
coefficients = np.linalg.solve(matrix, constants)

# Define the equation of the line
def line_equation(x):
    return coefficients[0] + coefficients[1] * x

# Generate points for plotting the line
x_line = np.linspace(min(x_values), max(x_values), 100)
y_line = line_equation(x_line)

# Plot the data points and the line
plt.scatter(x_values, y_values, color='red', label='Data Points')
plt.plot(x_line, y_line, label='Fitted Line')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Line Fitting using Gauss-Jordan Elimination')
plt.legend()

# Adding the line equation to the plot
line_formula = f'y = {coefficients[1]:.2f}x + {coefficients[0]:.2f}'
plt.text(0, 10, line_formula, fontsize=12)

# Display the plot
plt.show()

Código 4: Regressão Linear com Gradiente Descendente em Resumo

Aqui, vamos explorar os fundamentos matemáticos do Gradiente Descendente para Regressão Linear. Isso será seguido por um exemplo detalhado de código em Python, incluindo um conjunto de dados numéricos, a execução do código e a saída gerada. O Gradiente Descendente é uma técnica de otimização iterativa comumente usada para minimizar uma função, neste caso, a função de erro na Regressão Linear. Em cada iteração, os coeficientes A e B são atualizados com base no gradiente da função de erro em relação a esses coeficientes. Abaixo está um trecho de código Python que demonstra a aplicação do Gradiente Descendente para Regressão Linear. O código inclui comentários para clareza e explicação.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Given data points
data = np.array([[1, 3], [2, 5], [3, 8], [4, 9], [5, 12]])

# Extract x and y values
x = data[:, 0]
y = data[:, 1]

# Initialize coefficients A and B
A = 0.0
B = 0.0

# Learning rate
alpha = 0.01

# Number of iterations
iterations = 100

# Gradient Descent
for _ in range(iterations):
    # Calculate predicted values
    y_pred = A * x + B
    
    # Calculate partial derivatives of the error
    dA = -2 * np.sum(x * (y - y_pred))
    dB = -2 * np.sum(y - y_pred)
    
    # Update coefficients
    A -= alpha * dA
    B -= alpha * dB

# Output the coefficients
print("Coefficient A:", A)
print("Coefficient B:", B)

# Plotting
plt.scatter(x, y, label='Data Points')
plt.plot(x, A * x + B, color='red', label='Fitted Line')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

Para o conjunto de dados (1,3),(2,5),(3,8),(4,9),(5,12), o código atualiza iterativamente os coeficientes A e B para ajustar a melhor reta linear aos pontos de dados. A saída mostrará os valores dos coeficientes A e B e gerará um gráfico representando os pontos de dados, a reta ajustada e os coeficientes A e B.

Código 5: Visualização da Trajetória dos Parâmetros do Gradiente Descendente em Direção à Minimização da Função de Custo

Este código Python utiliza o Gradiente Descendente para refinar iterativamente os coeficientes A e B, minimizando a função de custo relacionada ao ajuste de dados e adiciona um mapa de cores para permitir a visualização da trajetória dos parâmetros em direção ao mínimo da função de custo.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Given data points
data = np.array([[1, 3], [2, 5], [3, 8], [4, 9], [5, 12]])

# Extract x and y values
x = data[:, 0]
y = data[:, 1]

# Initialize coefficients A and B
A = 0.0
B = 0.0

# Learning rate
alpha = 0.01

# Number of iterations
iterations = 100

# Arrays to store parameter values and cost function values
param_A = []
param_B = []
cost_values = []

# Gradient Descent
for _ in range(iterations):
    # Calculate predicted values
    y_pred = A * x + B
    
    # Calculate cost function
    cost = np.sum((y_pred - y)**2) / (2 * len(y))
    
    # Store parameter values and cost function values
    param_A.append(A)
    param_B.append(B)
    cost_values.append(cost)
    
    # Calculate partial derivatives of the error
    dA = -2 * np.sum(x * (y - y_pred)) / len(y)
    dB = -2 * np.sum(y - y_pred) / len(y)
    
    # Update coefficients
    A -= alpha * dA
    B -= alpha * dB

# Create a meshgrid for parameter values
param_A_vals = np.linspace(A - 2, A + 2, 100)
param_B_vals = np.linspace(B - 2, B + 2, 100)
param_A_grid, param_B_grid = np.meshgrid(param_A_vals, param_B_vals)

# Calculate cost values for the grid
cost_grid = np.zeros_like(param_A_grid)
for i in range(len(param_A_vals)):
    for j in range(len(param_B_vals)):
        y_pred = param_A_vals[i] * x + param_B_vals[j]
        cost_grid[j, i] = np.sum((y_pred - y)**2) / (2 * len(y))

# Plotting the colormap
plt.figure()
plt.contourf(param_A_grid, param_B_grid, cost_grid, levels=20, cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Cost Function')
plt.plot(param_A, param_B, c='black', marker='o')
plt.xlabel('Parameter A')
plt.ylabel('Parameter B')
plt.title('Cost Function Minimization using Gradient Descent')
plt.show()

“A saída do mapa de cores apresenta variações de custo para diferentes combinações de parâmetros, enquanto a trajetória em preto acompanha as atualizações de A e B ao longo das iterações. Essa representação melhora a compreensão da minimização da função de custo e da sintonia de parâmetros em ação.

#IA #QueijoRolando #CoopersHill #DataVisualization #DIY #GradientDescent #InteligênciaArtificial #MínimosQuadrados #RegressãoLinear #AprendizadoDeMáquina #RedesNeurais #Treinamento #Python #StochasticGradientDescent

Copyright 2024 AI-Talks.org